题目内容
如图，在三棱锥P―ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB＝BC＝2，∠ABC＝
，M为棱PC的中点。
（1）求证：点P，A，B，C四点在同一球面上；
（2）求二面角A―MB―C的大小；
（3）求过P、A、B、C四点的球面中，A、B两点的球面距离。
解：（1）由已知条件知，在
中，
，
则
∴
∴
即P，A，B，C四点都在以M为球心、半径为PM的球面上。
（2）以AC为
轴，AP为
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，
则
设平面AMB的法向量为
∵
由
，得
，
所以
同理，设平面BMC的法向量为
，则
，解得
所以
故二面角
的大小为
（3）∵过P、A、B、C四点的球面的球心为M，半径为
，
在
中，
，
∴
故A、B两点的球面距离为
。
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