Question

已知集合A={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}，
（1）当a=2时，求A∩B；
（2）求使B⊆A的实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a的值分别代入二次不等式和分式不等式，然后通过求解不等式化简集合A，B，再运用交集运算求解A∩B；
（2）把集合B化简后，根据集合A中二次不等式对应二次方程判别式的情况对a进行分类讨论，然后借助于区间端点值之间的关系列不等式组求解a的范围．

解答：解：（1）当a=2时，A={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}={x|x²-9x+14=0}=（2，7），
B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}={x|

x-4

x-5

＜0}=（4，5），
∴A∩B=（4，5）
（2）∵B=（2a，a²+1），
①当a＜

1

3

时，A=（3a+1，2）
要使B⊆A必须

2a≥3a+1 a2+1≤2

，此时a=-1，
②当a=

1

3

时，A=∅，使B⊆A的a不存在．
③a＞

1

3

时，A=（2，3a+1）要使B⊆A，
必须

2a≥2 a2+1≤3a+1

，此时1≤a≤3．
综上可知，使B⊆A的实数a的范围为[1，3]∪{-1}．

点评：本题考查了交集及其运算，考查了集合的包含关系及其应用，考查了分类讨论的数学思想，解答此题的关键是对集合A的讨论，此题是中档题．