Question

【题目】设函数 ．
（Ⅰ）若 ，求f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）定义域为x∈（0，+∞）． 当 时， 且f'（1）=0．
令h（x）=﹣x+1﹣lnx，则 ，
故h（x）在定义域上是减函数，
注意到h（1）=0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）＞h（1）=0，此时f'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜h（1）=0，此时f'（x）＜0．
∴f（x）的极大值为f（1）=0，无极小值．
（Ⅱ）当x∈（0，+∞）时，f′（x）= ≥0，
故2a≥ ，
令 ，
∴ ，
由g'（x）＞0得x∈（0，e2），
由g'（x）＜0得x∈（e2 ， +∞），
故g（x）的最大值为 ，
∴2a≥ ，a≥ e﹣2
【解析】（Ⅰ）求出函数到底是，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（Ⅱ）问题转化为2a≥ ，令 ，根据函数的单调性求出a的范围即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．