题目内容
设F1、F2分别为椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左、右两个焦点．
（1）若椭圆C上的点A（1，
）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．求证：kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（1）若椭圆C上的点A（1，
| 3 |
| 2 |
（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；
（3）若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时．求证：kPM•kPN是与点P位置无关的定值．
分析：（1）由椭圆定义集合已知条件求得a，把点A的坐标代入椭圆方程求得b，则椭圆方程可求，由c2=a2-b2求出c后可得焦点坐标；
（2）设出线段F1K的中点坐标及K点坐标，有重点坐标公式得到坐标关系，利用代入法求得线段F1K的中点轨迹方程；
（3）设出M点及N点坐标，在设出P点坐标，由两点式写出PM与PN所在直线的斜率，作积后把点的纵坐标用横坐标表示，整理后可得要证明的结论．
（2）设出线段F1K的中点坐标及K点坐标，有重点坐标公式得到坐标关系，利用代入法求得线段F1K的中点轨迹方程；
（3）设出M点及N点坐标，在设出P点坐标，由两点式写出PM与PN所在直线的斜率，作积后把点的纵坐标用横坐标表示，整理后可得要证明的结论．
解答：解：（1）由椭圆C上的点A（1，
）到F1、F2两点的距离之和等于4，可知2a=4，即a=2．
∴椭圆C的方程为
+
=1，把点A（1，
）代入得：
+
=1，解得b2=3．
∴椭圆C的方程为：
+
=1．
由c2=a2-b2=4-3=1，得焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）；
（2）设线段F1K的中点为G（x，y），K（x0，y0），由中点坐标公式，得
，即
，代入椭圆方程得：
+
=1．
∴线段F1K的中点轨迹方程为
+
=1．
（3）设点M（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中
+
=1．
则n2=b2-
m2．
又设点P的坐标为（x0，y0），则
+
=1，y02=b2-
x02．
由kPM=
，kPN=
，
得kPM×kPN═
×
=
，
将y02=b2-
x02，n2=b2-
m2代入得kPM×kPN=
，得
kPM×kPN=
=
．
| 3 |
| 2 |
∴椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| b2 |
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 9 |
| 4b2 |
∴椭圆C的方程为：
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
由c2=a2-b2=4-3=1，得焦点坐标为F1（-1，0），F2（1，0）；
（2）设线段F1K的中点为G（x，y），K（x0，y0），由中点坐标公式，得
|
|
| (2x+1)2 |
| 4 |
| 4y2 |
| 3 |
∴线段F1K的中点轨迹方程为
| (2x+1)2 |
| 4 |
| 4y2 |
| 3 |
（3）设点M（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），其中
| m2 |
| a2 |
| n2 |
| b2 |
则n2=b2-
| b2 |
| a2 |
又设点P的坐标为（x0，y0），则
| x02 |
| a2 |
| y02 |
| b2 |
| b2 |
| a2 |
由kPM=
| y0-n |
| x0-m |
| y0+n |
| x0+m |
得kPM×kPN═
| y0-n |
| x0-m |
| y0+n |
| x0+m |
| y02-n2 |
| x02-m2 |
将y02=b2-
| b2 |
| a2 |
| b2 |
| a2 |
| y02-n2 |
| x02-m2 |
kPM×kPN=
b2-
| ||||
| x02-m2 |
| b2 |
| a2 |
点评：本题考查了椭圆的标准方程及简单几何性质，考查了与直线有关的动点的轨迹方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了代入法，考查了学生的计算能力，是压轴题．
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