题目内容
对于函数
．（1）用函数单调性的定义证明f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
【答案】分析：（1）任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，进而根据函数单调性的定义，可得结论；
（2）根据奇函数的定义，令f（-x）+f（x）=0，根据指数的运算性质，可求出a值．
解答：证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，
则
，
，
，
∴f（x1）-f（x2）=（
）-（
）=
-
=
＜0
∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数
为奇函数
则f（-x）+f（x）=
+
=
+
=
=2a-2=0
解得a=1
故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数
点评：本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义是解答的关键．
（2）根据奇函数的定义，令f（-x）+f（x）=0，根据指数的运算性质，可求出a值．
解答：证明：任取x1，x2∈（-∞，+∞），且x1＜x2，
则
，，，∴f（x1）-f（x2）=（
）-（）=-=＜0∴f（x1）＜f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）若函数
为奇函数则f（-x）+f（x）=
+=+==2a-2=0解得a=1
故存在实数a=1使函数f（x）为奇函数
点评：本题考查的知识点是函数的单调性和函数的奇偶性，熟练掌握函数单调性与奇偶性的定义是解答的关键．
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