题目内容

已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(
4
3
，
1
3
)．
（I）求椭圆C的离心率：
（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
2
|AQ|2
=
1
|AM|2
+
1
|AN|2
，求点Q的轨迹方程．
（I）∵椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（-1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P(
4
3
，
1
3
)．
∴c=1，2a=PF1+PF2=
(
4
3
+1)2+
1
9
+
(
4
3
-1)2+
1
9
=2
2
，即a=
2

∴椭圆的离心率e=
c
a
=
1
2
=
2
2
…4分
（II）由（I）知，椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1，设点Q的坐标为（x，y）
（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，-1）两点，此时点Q的坐标为（0，2-
3
5
5
）
（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，
因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+2），则
|AM|2=(1+k2)x1 2，|AN|2=(1+k2)x2 2，又|AQ|2=（1+k2）x2，
2
|AQ|2
=
1
|AM|2
+
1
|AN|2

∴
2
(1+k2)x2
=
1
(1+k2)x1 2
+
1
(1+k2)x2 2
，即
2
x2
=
1
x1 2
+
1
x2 2
=
(x1+x2)2-2x1x2
x1 2x2 2
…①
将y=kx+2代入
x2
2
+y2=1中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0…②
由△=（8k）2-24（2k2+1）＞0，得k2＞
3
2

由②知x1+x2=-
8k
2k2+1
，x1x2=
6
2k2+1
，代入①中化简得x2=
18
10k2-3
…③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=
y-2
x
，代入③中并化简得10（y-2）2-3x2=18
由③及k2＞
3
2
可知0＜x2＜
3
2
，即x∈（-
6
2
，0）∪（0，
6
2
）
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以-1≤y≤1，
又由10（y-2）2-3x2=18得（y-2）2∈[
9
5
，
9
4
）且-1≤y≤1，则y∈（
1
2
，2-
3
5
5
）
所以，点Q的轨迹方程为10（y-2）2-3x2=18，其中x∈（-
6
2
，
6
2
），y∈（
1
2
，2-
3
5
5
）…13分
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，且经过点P(1，
3
2
)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设F是椭圆C的左焦，判断以PF为直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系，并说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短轴长为2
3
，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合，O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D（-4，0），且满足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直线AB的斜率的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）经过点A（1，
3
2
），且离心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点B（-1，0）能否作出直线l，使l与椭圆C交于M、N两点，且以MN为直径的圆经过坐标原点O．若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
（2012•房山区二模）已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的长轴长是4，离心率为
1
2
．
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设过点P（0，-2）的直线l交椭圆于M，N两点，且M，N不与椭圆的顶点重合，若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点A，求直线l的方程．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
2
，设过右焦点的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，过A，B作直线x=2的垂线AP，BQ，垂足分别为P，Q．记λ=
AP+BQ
PQ
，若直线l的斜率k≥
3
，则λ的取值范围为
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网