Question

【题目】已知函数，其中a为非零常数．

讨论的极值点个数，并说明理由；

若，证明：在区间内有且仅有1个零点；设为的极值点，为的零点且，求证：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析.

【解析】

先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，

转化为证明只有一个零点，结合函数与导数知识可证；

由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．

解：解：由已知，的定义域为，

，

①当时，，从而，

所以在内单调递减，无极值点；

②当时，令，

则由于在上单调递减，，，

所以存在唯一的，使得，

所以当时，，即；当时，，即，

所以当时，在上有且仅有一个极值点.

综上所述，当时，函数无极值点；当时，函数只有一个极值点；

证明：由知．

令，由得，

所以在内有唯一解，从而在内有唯一解，

不妨设为，则在上单调递增，在上单调递减，

所以是的唯一极值点．

令，则当时，，

故在内单调递减，

从而当时，，所以．

从而当时，，且

又因为，故在内有唯一的零点．

由题意，即，

从而，即．

因为当时，，又，

故，即，

两边取对数，得，

于是，整理得．