Question

某小区想利用一矩形空地建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，，且中，，经测量得到．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一直线交于，从而得到五边形的市民健身广场，设．
（1）将五边形的面积表示为的函数；
（2）当为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积．

Answer 1

（1）（）；（2）时，最大面积为.

解析试题分析：（1）要求五边形的面积，可先求的面积，为此要求出（因为），作，垂足为，则，又，因此利用相似形的性质可得，这样可得，于是；（2）对要求最大值，可把作为一个整体进行变形，即，可以应用基本不等式求得最值，要注意等号成立的条件.
（1）作GH⊥EF，垂足为H，
因为，所以，因为
所以，所以       2分
过作交于T，
则，
所以 
                             7分
由于与重合时，适合条件，故,               8分

（2），           10分
所以当且仅当，即时，取得最大值2000，      13分
所以当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为．       14分
考点：（1）相似形与多边形的面积；（2）函数的最值问题.