Question

已知函数f（x）=

1，x≤0 2(x-1)2，x＞0

．则函数y=f（x²）-a（a≥0）的零点的个数不可能为（　　）

• A、5
• B、4
• C、3
• D、2

Answer 1

分析：由y=f（x²）-a=0得到f（x²）=a（a≥0），然后分别讨论a的取值范围，判断方程解的个数即可．

解答：解：由y=f（x²）-a=0（a≥0），
得f（x²）=a（a≥0），
若x=0，则f（x²）=f（0）=1=a，解得a=1，
若x≠0，则f（x²）=2（x²-1）²=a，
即（x²-1）²=

a

2

，若a=0，则x²-1=0，解得x=±1，
若a＞0，
则x²-1=±

2a

2

，即x²=1±

2a

2

，
若1-

2a

2

=0，则a=2时，x²=1±

2a

2

=0或2，此时x=0（舍）或x=±1，有2个解．
若1-

2a

2

＜0，即a＞2时，此时x²=1-

2a

2

无解，x²=1+

2a

2

，有2个解．
若1-

2a

2

＞0，即0＜a＜2时，此时x²=1-

2a

2

有2解，x²=1=

2a

2

，有2个解．此时共4个解．
综上：当a=0时，有2个解；
当a=1时，有5个解；
当0＜a＜2时，有4个解；
当a=2时，有2个解；
当a＞2时，有2个解，
故解得个数可能为2，4，5，
故不可能的是3个解．
故选：C

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，将函数转化为方程，对a进行分类讨论，综合性较强，运算量较大．