Question

已知函数f(x)=

1

a

-

1

x

(a＞0，x＞0)．
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调递增函数；
（2）若f（x）在[

1

2

，2]上的值域是[

1

2

，2]，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义，设x₂＞x₁＞0，再将f（x₁）-f（x₂）作差后化积，证明即可；
（2）由（1）知f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，从而在[

1

2

，2]上单调递增，由f（2）=2可求得a的值．

解答：证明：（1）证明：设x₂＞x₁＞0，则x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，
∵f(x2)-f(x1)=(

1

a

-

1

x2

)-(

1

a

-

1

x1

)=

1

x1

-

1

x2

=

x2-x1

x1x2

＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是单调递增的．
（2）∵f（x）在（0，+∞）上是单调递增的，
∴f（x）在[

1

2

，2]上单调递增，
∴f(

1

2

)=

1

2

，f(2)=2，
∴a=

2

5

．

点评：本题考查函数单调性的判断与证明，着重考查函数单调性的定义及其应用，属于中档题．