Question

已知函数f（x）=a•2^x-1+2^-x（a为常数，x∈R）为偶函数．
（1）求a的值；并用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增；
（2）解不等式：f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）．

Answer 1

分析：（1）直接根据偶函数的定义得到f（1）=f（-1），即可求出a的值；再用定义证明f（x）在[0，+∞）上单调递增即可；
（2）直接根据偶函数中f（-x）=f（x）=f（|x|），再结合其在[0，+∞）上的单调性即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）f（x）为偶函数，所以f（1）=f（-1），
即：a+

1

2

=

1

4

a+2，解得：a=2
证明：设x₁，x₂∈[0，+∞），且x₁＜x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=2x1+2-x1-2x2-2-x2=(2x1-2x2)(1-

1

2x1+x2

)
∵x₁＜x₂，∴2x1-2x2＜0
∵x₁，x₂∈[0，+∞），∴1-

1

2x1+x2

＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上单调递增．
（2）f（x）为偶函数，a=2，
不等式f（2log_ax-1）＞f（log_ax+1）
变为f（|2log₂x-1|）＞f（|log₂x+1|），
由于f（x）=2^x+2^-x在[0，+∞）上单调递增，
所以|2log₂x-1|＞|log₂x+1|，
两边平方，得：log₂²x-2log₂x＞0，
∴log₂x＜0，或log₂x＞2
∴0＜x＜1，或x＞4

点评：本题主要考查对数函数与指数函数的综合问题以及偶函数性质的运用．解决第二问的关键在于根据偶函数中f（-x）=f（x）=f（|x|），把问题简单化，避免讨论．