Question

设f（x）=|x-a|，a∈R
（Ⅰ）当a=5，解不等式f（x）≤3；
（Ⅱ）当a=1时，若?x∈R，使得不等式f（x-1）+f（2x）≤1-2m成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=5代入解析式，然后解绝对值不等式，根据绝对值不等式的解法解之即可；
（Ⅱ）先利用根据绝对值不等式的解法去绝对值，然后利用图象研究函数的最小值，使得1-2m大于等于不等式左侧的最小值即可．

解答：解：（I）a=5时原不等式等价于|x-5|≤3即-3≤x-5≤3，2≤x≤8，
∴解集为{x|2≤x≤8}；
（II）当a=1时，f（x）=|x-1|，
令g(x)=f(x-1)+f(2x)=|x-2|+|2x-1|=

-3x+3(x≤ 1 2 ) x+1( 1 2 ＜x＜2) 3x-3(x≥2)

，
由图象知：当x=

1

2

时，g（x）取得最小值

3

2

，由题意知：

3

2

≤1-2m，
∴实数m的取值范围为m≤-

1

4

．

点评：本题主要考查了绝对值不等式的解法、存在性问题以及分段函数求最值，处理的方法是：利用图象法求函数的最值，属于中档题．