Question

已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对任意x∈（0，+∞）恒有

f[f(x)-lnx]=1，若存在x0∈(0，+∞)使不等式f(x0)+f′(x0)-c≤0成立，则c的最小值是(   )

．

A．0

B．1

C．2

D．不存在

Answer 1

分析：不妨取x=1，可得

f[f(1)]=1，

两边取对应关系f^-1，可得f（1）=1，对

f[f(x)-lnx]=1，

两边取对应关系f^-1，可得f（x）=1+lnx，构造函数g（x）=

1

x

+1+lnx，问题转化为求其最小值．

解答：解：函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，则函数f（x）必有反函数，记为f^-1（x），
且对任意x∈（0，+∞）恒有

f[f(x)-lnx]=1，

①不妨取x=1，可得

f[f(1)]=1，

②
对②式两边取对应关系f^-1，可得f（1）=f^-1（1），由反函数性质知f（1）=1．
对①式两边取对应关系f^-1，可得f（x）-lnx=f^-1（1）=f（1）=1，
即函数f（x）的解析式为：f（x）=1+lnx，其导函数f^′（x）=

1

x

．
构造函数g（x）=f（x）+f^′（x）=

1

x

+1+lnx，则g′(x)=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

．
可知，在x=1处，g^′（x）=0，且在区间（0，1）上g^′（x）＜0，即函数g（x）递减，
在区间（1，+∞）上，g^′（x）＞0，即函数g（x）递增，
故在x=1处，函数g（x）取到极小值g（1）=2，也是最小值．

若存在x0∈(0，+∞)使不等式f(x0)+f′(x0)-c≤0成立，

即c大于等于函数g（x）的最小值，
即c≥2，可得c的最小值为2．
故选C．

点评：本题为反函数与导数问题的结合，求出f（x）的解析式是解决问题的关键，属中档题．