Question

（2013•绵阳一模）已知{a_n}是递增数列，且对于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，则实数λ的取值范围是

（-3，+∞）

．

Answer 1

分析：由对于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，知a_n+1-a_n=（n+1）²+λ（n+1）-n²-λn=2n+1+λ，由{a_n}是递增数列，知a_n+1-a_n＞a₂-a₁=3+λ＞0，由此能求出实数λ的取值范围．

解答：解：∵对于任意的n∈N^*，a_n=n²+λn恒成立，
a_n+1-a_n=（n+1）²+λ（n+1）-n²-λn=2n+1+λ，
∵{a_n}是递增数列，
∴a_n+1-a_n＞0，
又a_n+1-a_n=（n+1）²+λ（n+1）-n²-λn=2n+1+λ
∴当n=1时，a_n+1-a_n最小，
∴a_n+1-a_n＞a₂-a₁=3+λ＞0，
∴λ＞-3．
故答案为：（-3，+∞）．

点评：本题考查实数的取值范围的求法，具体涉及到数列的性质，解题时要认真审题，注意函数思想的灵活运用，是基础题．