题目内容
已知数列{an}是首项为a1=
，公比q=的等比数列，设bn+2=3
an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an·bn。
（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前项和；
（3）若cn≤
m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。
，公比q=的等比数列，设bn+2=3an（n∈N*），数列{cn}满足cn=an·bn。（1）求证：{bn}是等差数列；
（2）求数列{cn}的前项和；
（3）若cn≤
m2+m-1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围。 解：（1）由题意知
∵
∴
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列；
（2）由（1）知
∴
∴
于是
两式相减得
∴
；
（3）∵
∴当n=1时，
当
时，
即
∴当n=1时，
取最大值是
又
对一切正整数n恒成立
∴
即
得
或
。
∵
∴
∴数列{bn}是首项b1=1，公差d=3的等差数列；
（2）由（1）知
∴
∴
于是
两式相减得
∴
；（3）∵
∴当n=1时，
当
时，即
∴当n=1时，
取最大值是又
对一切正整数n恒成立∴
即
得或。
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