Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（1）求证：面AEC⊥面PDB；
（2）当PD=

2

2

AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）通过四边形ABCD是正方形，证明PD⊥底面ABCD，然后证明AC⊥平面PDB，即可证明平面平面AEC⊥平面PDB．
（2）设AC与BD交于O点，连接EO，则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角，在Rt△AEO中，即得AE与面PDB所成角的正切值为2．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PD⊥底面ABCD，
∴PD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PDB，
又∵AC?平面AEC
∴平面平面AEC⊥平面PDB；
（2）设AC与BD交于O点，连接EO
则易得∠AEO为AE与面PDB所成的角           
在Rt△AEO中，OE=

1

2

PD=

2

4

AB，
AO=

2

2

AB
故AE与面PDB所成角的正切值为2．

点评：本题考查直线与平面的位置关系，平面与平面垂直，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，计算能力．