Question

（2012•上饶一模）已知函数f（x）=xlnx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数F(x)=

f(x)-a

x

在[1，e]上是最小值为

3

2

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）求导函数，由导数的正负，可得函数的单调区间；
（2）F′(x)=

x+a

x2

(x＞0)，对a结合在[1，e]上是最小值为

3

2

，分类讨论，建立等式，从而可得结论．

解答：解：（1）求导函数可得f′（x）=lnx+1（x＞0）
令f′（x）＞0，可得x＞

1

e

；f′（x）＜0，可得0＜x＜

1

e

；
∴函数的单调递增区间为（

1

e

，+∞），单调递减区间为（0，

1

e

）．…（5分）
（2）F′(x)=

x+a

x2

(x＞0)．
当a≥0时，F′（x）＞0，F（x）在[1，e]上单调递增，∴F（x）_min=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

，舍去       …（7分）
当a＜0时，F（x）在（0，-a）单调递减，在（-a，+∞）单调递增
若a∈（-1，0），F（x）在[1，e]上单调递增，，∴F（x）_min=-a=

3

2

，∴a=-

3

2

，舍去                     …（9分）
若a∈[-e，-1]，F（x）在（1，-a）单调递减，在（-a，e）单调递增，
∴F（x）_min=F（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，∴a=-

e

，符合题意
若a∈（-∞，-e），F（x）在[1，e]上单调递减，F(x)min=

e-a

e

=

3

2

⇒a=-

1

2

e∉(-∞，-e)舍去   …（11分）
综上所述：a=-

e

…（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．