题目内容

已知数列{a_n}的前n项和为S_n；且向量 $数学公式$ 共线．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）求数列 $数学公式$ 的前n项和T_n＜2．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ 共线，
∴n（n+3）-4S_n=0，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 满足此式，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ 为常数，
∴数列{a_n}为等差数列
（2）由（1）得a_n=1+（n-1）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
=2- $\text{[math]}$ ＜2
分析：（1）利用向量 $\text{[math]}$ 共线．得到n（n+3）-4S_n=0，根据和与项的关系得证．
（2）由（1）求出a_n=1+（n-1）× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 进一步求出 $\text{[math]}$ ，利用裂项求和的方法求出和
T_n．
点评：求数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．

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