题目内容
某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为| 4 |
| 5 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅰ）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．
分析：（I）我们分别将“甲考核为优秀”，“乙考核为优秀”，“丙考核为优秀”，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”记为A，B，C，E，根据相互独立事件与对立事件的定义，可得事件A，B，C相互独立，
•
•
与事件E是对立事件，根据相互独立事件乘法公式及对立事件概率减法公式，可得在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（Ⅱ）由已知中考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．我们要得ξ的可能取值为
，2，
，3，分别计算出ξ取得各值时的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ的值．
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
（Ⅱ）由已知中考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．我们要得ξ的可能取值为
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
解答：解：（I）记“甲考核为优秀”为事件A，“乙考核为优秀”为事件B，
“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
则事件A，B，C相互独立，
•
•
与事件E是对立事件
则P（E）=1-P（
•
•
）=1-P（
）•P（
）•P（
）=1-
×
×
=
（II）ξ的可能取值为
，2，
，3
∵P（ξ=
）=P（
•
•
）=
，
P（ξ=2）=P（A•
•
）+P（
•B•
）+P（
•
•C）=
P（ξ=
）=P（A•B•
）+P（A•
•C）+P（
•B•C）=
P（ξ=3）=P（A•B•C）=
∴ξ的分布列为：
∴E（ξ）=
×
+2×
+
×
+3×
=
“丙考核为优秀”为事件C，“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
则事件A，B，C相互独立，
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
则P（E）=1-P（
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 44 |
| 45 |
（II）ξ的可能取值为
| 3 |
| 2 |
| 5 |
| 2 |
∵P（ξ=
| 3 |
| 2 |
. |
| A |
. |
| B |
. |
| C |
| 1 |
| 45 |
P（ξ=2）=P（A•
. |
| B |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| C |
. |
| A |
. |
| B |
| 8 |
| 45 |
P（ξ=
| 5 |
| 2 |
. |
| C |
. |
| B |
. |
| A |
| 20 |
| 45 |
P（ξ=3）=P（A•B•C）=
| 16 |
| 45 |
∴ξ的分布列为：
∴E（ξ）=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 45 |
| 8 |
| 45 |
| 5 |
| 2 |
| 20 |
| 45 |
| 16 |
| 45 |
| 77 |
| 30 |
点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，其中在求随机变量ξ的分布列时，对随机变量的每一个取值，要注意不重不漏，以便准确的计算出ξ取得各值时的概率，这也是计算分布列及数学期望时最容易产生的错误．
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，他们考核所得的等次相互独立．
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