Question

第十一届西博会于2010年10月22日至26日在蓉举行，本届西博会以“绿色改变生活，技术引领发展”为主题．如此重要的国际盛会，自然少不了志愿者这支重要力量，“志愿者，西博会最亮丽的风景线”，通过他们的努力和付出，已把志愿者服务精神的种子播撒到人们心中．某大学对参加了本次西博会的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核，因该批志愿者表现良好，该大学决定考核只有合格和优秀两个等次，若某志愿者考核为合格，授予0.5个学分；考核为优秀，授予1个学分．假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为

4

5

、

2

3

、

2

3

，他们考核所得的等次相互独立．
（1）求在这次考核中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀的概率；
（2）记这这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）由已知中，志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀，是“志愿者甲、乙、两三人中没有考核为优秀”，这个事件的对立事件，利用对立事件概率减法公式，即可求出答案．
（II）根据甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ，则ξ的可能取值为

3

2

、2、

5

2

、3，分别计算出对应的概率，即可得到随机变量ξ的分布列，代入数学期望公式，即可得到数学期望Eξ．

解答：解：（Ⅰ）记甲、乙、丙考核为优秀依次为事件A、B、C，
“志愿者甲、乙、两三人中至少有一名考核为优秀”为事件E，
事件A、B、C相互独立，
事件

.

A

•

.

B

•

.

C

与E是对立事件；
P（E）=1-P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=1-

1

5

×

1

3

×

1

3

=

44

45

；
（Ⅱ）根据题意，ξ的可能取值为

3

2

、2、

5

2

、3，
P（ξ=

3

2

）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=

1

45

，
P（ξ=2）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

8

45

，
P（ξ=

5

2

）=P（A•B•

.

C

）+P（

.

A

•B•C）+P（A•

.

B

•C）=

20

45

，
P（ξ=3）=P（A•B•C）=

16

45

∴ξ的分布列为

∴Eξ=

3

2

×

1

45

+2×

8

45

+

5

2

×

20

45

+3×

16

45

=

77

30

点评：本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望，在计算随机变量ξ的分布列时，一定要注意分类时要不重分，不漏分．