Question

如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，直线⊥x轴于点C， ，,动点到直线的距离是它到点D的距离的2倍 
（I）求点的轨迹方程；
（II）设点K为点的轨迹与x轴正半轴的交点,直线交点的轨迹于两点（与点K均不重合）,且满足 求直线EF在X轴上的截距；
（Ⅲ）在（II）的条件下，动点满足,求直线的斜率的取值范围 

Answer 1

（Ⅰ）动点M的轨迹方程为：；（Ⅱ）直线EF在X轴上的截距为   ；（Ⅲ）。

（I）依题意知,点的轨迹是以点为焦点、直线为其相应准线,
离心率为的椭圆
设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,
又，，∴点在x轴上,且,则3，
解之得：,    
∴坐标原点为椭圆的对称中心 
∴动点M的轨迹方程为：             
（II）设,设直线的方程为（－２〈n〈2）,代入得
                    
, 
    
，K（2，0）,,
,
 
解得: (舍)     ∴ 直线EF在X轴上的截距为   
（Ⅲ）设,由知, 
直线的斜率为            
当时,;
当时,,
时取“=”）或时取“=”），
                                
综上所述