Question

数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是不为零的常数，n=1，2，3，…），且a₁，a₂，a₃成等比数列．
（1）求c的值；
（2）求{a_n}的通项公式；
（3）设数列{

an-c

n•cn

}的前n项之和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（1）先根据a₁=2，a_n+1=a_n+cn，令n=2得到a₂，令n=3得到a₃．因为a₁，a₂，a₃成等比数列，所以a₂²=a₁•a₃，代入即可求出c的值；（2）当n≥2时，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，等号左边相加等于等号右边相加，并根据等差数列的前n项和的公式得到a_n即可；
（3）设bn=

an-c

n•cn

=(n-1)(

1

2

)n．然后列举出T_n的各项得①，都乘以

1

2

得

1

2

T_n②，利用①-②即可得到T_n的通项．

解答：解：（1）a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c．
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0或c=2．
∵c≠0，∴c=2．

（2）当n≥2时，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

c．
又a₁=2，c=2，故有a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，）．
当n=1时，上式也成立．
∴a_n=n²-n+2（n=1，2）．

（3）令bn=

an-c

n•cn

=(n-1)(

1

2

)n．T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=0+(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+（n-1）(

1

2

)n①

1

2

T_n=0+(

1

2

)3+2×(

1

2

)4+…+（n-2）(

1

2

)n+（n-1）(

1

2

)n+1②
①-②得Tn=1-(

1

2

)n-1-

n-1

2n

．

点评：考查学生灵活运用等比数列性质的能力，灵活运用等差数列的前n项和公式求数列的通项公式，会利用错位相减法求数列的通项．以及灵活运用数列递推式解决数学问题．