Question

【题目】设函数fn（x）=﹣xn+3ax（a∈R，n∈N+），若对任意的x1 ， x2∈[﹣1，1]，都有|f3（x1）﹣f3（x2）|≤1，则a的取值范围是（ ）
A.[ ， ]
B.[ ， ]
C.[ ， ]
D.[ ， ]

Answer 1

【答案】A
【解析】解：因为对任意x1 ， x2∈[﹣1，1]，都有|f3（x1）﹣f3（x2）|≤1，
所以|f3（1）﹣f3（﹣1）|≤1，从而有|（﹣1+3a）﹣（1﹣3a）|=|6a﹣2|≤1，
所以 ≤a≤ ．
又f3′（x）=﹣3（x2﹣a），
在[﹣1，﹣ ]，[ ，1]内f′3（x）＜0，
所以f3（x）在[﹣1，﹣ ]，[ ，1]内为减函数，
f3（x）在[﹣ ， ]内为增函数，
只需|f3（ ）﹣f3（ ）|≤1
化简可得4a ≤1，解得：a≤ ．
所以a的取值范围是 ≤a≤ ．
故选：A．