题目内容

△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c， $数学公式$ ，△ABC外接圆半径为1．
（1）若a+c=3，求a及c边．
（2）若BC中点为D， $数学公式$ ， $数学公式$ ，求△ABC面积．

解：（1）∵ $\text{[math]}$ =2R=2， $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （2分）
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴3=（a+c）²-3ac，∴ac=2 （4分）
由 $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （6分）
（2）△ABD与△ACD中 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （8分）
∵∠DAC= $\text{[math]}$ ，∠B= $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又BD=CD，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ （10分）
∴ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，∴△ABC为直角三角形，∴ $\text{[math]}$ （12分）
分析：（1）利用正弦定理可求b，再利用余弦定理及a+c=3，建立方程组，即可求a及c边．
（2）先求C，并求得△ABC为直角三角形，即可求△ABC面积．
点评：本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．