Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，且C₁到其他5个顶点的距离均为a.

（1）求证：平面C₁AB⊥平面ABC；

（2）求二面角A-BC₁-C的余弦值.

Answer 1

（1）证明：以AB的中点为坐标原点O，OC为x轴，AB为y轴，建立空间直角坐标系，由AB=A₁B₁，∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，

A₁C₁=B₁C₁=a，知A₁B₁=a，

∴A(0,-a,0),B(0, a,0),C(a,0,0),

又由||=||=||=a，

可求得C₁(0,0, a)，即C₁在z轴上，

故OC₁⊥平面ABC，

∴平面ABC₁⊥平面ABC；

（2）解析：过O作OE⊥BC₁于E，连结CE，

由CO⊥AB，知CO⊥平面C₁AB，

∴∠OEC即为二面角A-BC₁-C的平面角.

又=(0,-a,a)，

·=0,·=0，

可求得E（0，a,a），

=(0,24a,24a),=(-a,a,a),

∴cosOEC=.