Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，M为PB中点．

（1）证明：CM∥平面PAD；
（2）求二面角A﹣MC﹣B的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：取AB中点N，连结MN，CN，

∵四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，

∠DAB=90°，

PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC= AB=1，

M为PB中点，

∴MN∥PA，CN∥AD，

∵MN∩CN=N，PA∩AD=A，MN，

CN平面MNC，PA，AD平面PAD，

∴平面MNC∥平面PAD，

∵CM平面MNC，∴CM∥平面PAD．

（2）解：以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），B（0，2，0），M（0，1， ），

=（1，0，﹣ ）， =（0，﹣1，﹣ ）， =（0，1，﹣ ），

设平面AMC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=2，得 =（1，﹣1，2），

设平面BMC的法向量 =（a，b，c），

则 ，取c=2，得 =（1，1，2），

设二面角A﹣MC﹣B的平面角为θ，

则cosθ=﹣ =﹣ =﹣ ，

∴二面角A﹣MC﹣B的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）取AB中点N，连结MN，CN，推导出平面MNC∥平面PAD，由此能证明CM∥平面PAD．（2）以A为原点，AD，AB，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣MC﹣B的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面平行的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．