Question

已知函数f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

-(cos2

x

2

-sin2

x

2

)．
（1）求函数f（x）的最大值并求出此时x的值；
（2）若f（x）=0，求

sinx+cos(π+x)

sinx+sin( π 2 -x)

的值．

Answer 1

分析：（1）利用 二倍角公式、两角差的正弦公式把函数f（x）化为2sin（x-

π

6

），当x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z时，f（x）取得最大值．
（2）令f（x）=0时，得tanx的值，利用同角三角函数的基本关系 和诱导公式得到

sinx+cos(π+x)

sinx+sin( π 2 -x)

=

sinx-cosx

sinx+cosx

=

tanx-1

tanx+1

，把tanx的值代入求得结果．

解答：解：（1）f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

-(cos2

x

2

-sin2

x

2

)=

3

sinx-cosx=2sin(x-

π

6

)．
当x-

π

6

=2kπ+

π

2

，k∈Z，即x=2kπ+

2π

3

，k∈Z时，f（x）取得最大值为2．
（2）令f（x）=0时，得tanx=

3

3

．
∴

sinx+cos(π+x)

sinx+sin( π 2 -x)

=

sinx-cosx

sinx+cosx

=

tanx-1

tanx+1

=

3

-2．

点评：本题考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式、诱导公式，两角差的正弦公式的应用，以及正弦函数的最值，把函数f（x）化为2sin（x-

π

6

）是解题的关键．