题目内容

已知x，y，z∈R，且x+y+z=8，x2+y2+z2=24求证：
4
3
≤x≤3，
4
3
≤y≤3，
4
3
≤z≤3．
分析：由x+y=8-z，知xy=
(x+y)2-(x2+y2)
2
=z2-8z+20，再由x，y是方程t2-（8-z）x+z2-8z+20=0的两个实根，知△≥0．由此能够证明
4
3
≤x≤3，
4
3
≤y≤3，
4
3
≤z≤3．
解答：证明：x+y=8-z，
xy=
(x+y)2-(x2+y2)
2
=z2-8z+20，
∴x，y是方程t2-（8-z）t+z2-8z+20=0的两个实根，
由△≥0得
4
3
≤z≤3，
同理可得
4
3
≤y≤3，
4
3
≤x≤3．
点评：本题考查不等式的证明，解题时要注意根的判别式和公式的灵活运用．
练习册系列答案
相关题目
11、已知x，y，z∈R，x2+y2+z2=1，则x+2y+2z的最大值为
3
．
已知x，y，z∈R，有下列不等式：
（1）x2+y2+z2+3≥2（x+y+z）；（2）
x+y
2
≥
xy
；（3）|x+y|≤|x-2|+|y+2|；（4）x2+y2+z2≥xy+yz+zx．
其中一定成立的不等式的序号是
 
．
[选做题]在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．
B．选修4-2：短阵与变换
已知矩阵M=
1
2
0
02
，矩阵M对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C，求C的方程．
C．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是ρ=4sin(θ+
π
4
)，求曲线C的普通方程．
D．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．
（2012•东城区一模）已知x，y，z∈R，若-1，x，y，z，-3成等差数列，则x+y+z的值为（　　）
已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2=
1
2
，证明：x，y，z∈[0，
2
3
]．

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