Question

（2012•上饶一模）下面四个图象中，有一个是函数f(x)=

1

3

x3+ax2+(a2-1)x+

1

3

(a∈R，a≠0)的导函数y=f′（x）的图象，则f（-1）等于（　　）

• A．-1
• B．-

  1

  3

• C．1
• D．-

  1

  3

  或

  5

  3

Answer 1

分析：可先求f′（x）后对四个选项进行排除，再结合题意得到选项．

解答：解：∵f′（x）=x²+2ax+a²-1，其二次项系数为1＞0，
故导函数y=f′（x）的图象开口方向向上，可排除B，D，
又导函数y=f′（x）的对称轴x=-a≠0，
∴可排除A，
故导函数y=f′（x）的图象为C，
∴f′（0）=a²-1=0，对称轴x=-a＞0
∴a=-1．
∴f（x）=

1

3

x³-x²+

1

3

，
∴f（-1）=-1．
故选A．

点评：本题考查函数的图象，着重考查导数的运算，突出考查排除法在选择题中的应用，考查数形结合的思想与分析转化的思想，属于中档题．