Question

已知函数f(x)=x+

1

x

，
（Ⅰ） 证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（Ⅱ） 求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

Answer 1

分析：（I）用单调性定义证明，先任取两个变量且界定大小，再作差变形看符号．
（II）由（I）知f（x）在[1，+∞）上是增函数，可知在[1，4]也是增函数，则当x=1时，取得最小值，当x=4时，取得最大值．

解答：（I）证明：在[1，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂（2分）
f(x1)-f(x2)=x1+

1

x1

-(x2+

1

x2

)（1分）
=(x1-x2)•

x1x2-1

x1x2

（1分）
∵x₁＜x₂∴x₁-x₂＜0
∵x₁∈[1，+∞），x₂∈[1，+∞）∴x₁x₂-1＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
故f（x）在[1，+∞）上是增函数（2分）
（II）解：由（I）知：
f（x）在[1，4]上是增函数
∴当x=1时，有最小值2；
当x=4时，有最大值

17

4

（2分）

点评：本题主要考查单调性证明和应用单调性求函数最值问题．