Question

【题目】已知有限项的、正整数的递增数列，并满足如下条件：对任意不大于各项总和的正整数，总存在一个子列，使得该子列所有项的和恰好等于.这里的‘子列’是指由原数列中的一部分项（包括一项、所有项）组成的新数列.

（1）写出，的值；

（2）“成等差数列”的充要条件是“各项总和恰好是其项数、项数平方值的等差中项”.为什么？请说明理由.

（3）若，写出“项数最少时，中的最大项”的值.

Answer 1

【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）当取最小值时，的最大值为1010.

【解析】

（1）利用数列是正整数的递增数列及题意可求；

（2）先利用等差数列求和公式证明必要性，再利用放缩法证明充分性；

（3）由题意可知，恒成立，由可得，由集合分类进行验证可得的最大值.

（1）因为，且是递增的正整数数列，由题意可知.

（2）先证必要性：

因为，且成等差数列，所以，所以.

再证充分性：

因为是递增的正整数数列，，所以，

所以，

又因为，所以（），

故是等差数列.

（3）先证明恒成立.

假设存在，且为最小的正整数.

依题意，则，

又因为，故当时，不能等于任何子列所有项的和.

故假设不成立，即恒成立.

因此，即，所以.

因为，则，

若时，则当时，不能等于任何子列所有项的和.

故，即.

此时可构造集合.

当时，可以等于集合中若干个元素的和；

当时，可以等于集合中若干个元素的和；

当时，可以等于集合中若干个元素的和；

当时，可以等于集合中若干个元素的和；

当时，可以等于集合中若干个元素的和；

所以当取最小值时，的最大值为1010.