Question

已知为正常数．（e=2.71828…）；
（理科做）（1）若，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值
（2）若g（x）=|lnx|+φ（x），且对任意x₁，x₂∈（0，2]，x₁≠x₂都有，求a的取值范围．
（文科做）（1）当a=2时描绘ϕ（x）的简图
（2）若，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值．

Answer 1

【答案】分析：（理科）（1）本小题需要先求出函数的导函数，然后得出单调区间，利用单调性来求出函数的最大和最小值，属于基本题目；
（2）本题函数g（x）=|lnx|+φ（x）含有绝对值号，考虑到去掉绝对值较为繁琐，也不可行，因此采用整体上处理，即构造一个新的函数来结合单调性求解，由已知，可以变形为，因此构造函数ω（x）=g（x）+x，
即，（a＞0，x∈（0，2]），然后求解．
（文科）（1）本题的函数图象简图的作法可以利用图象变换来做，考查函数与函数的图象之间的关系来作出；
（2）由已知求得函数的导函数，利用单调性求出函数的最大（小）值来方法同（理科）（1）类似..
解答：解：（理科）（1）∵
∴（2分）
故当时，f'（x）＜0，即f（x）单调递减，从而x∈[1，2）时，f（x）单调递减，
当时，f'（x）≥0，即f（x）单调递增，从而x∈[2，e]时，f（x）单调递增，（4分）
故，故
（2）由
所以可设…（8分）
故由题设可知ω（x）在x∈（0，2]上为减函数，
∵…（10分）
而 由可得
而上是增函数，
∴．
显然当
a=时，也成立，
所以a的取值范围是[，+∞）…（14分）

（文科）（1）由已知，其图象是由反比例函数图象的图象向左平行移动1个单位长度所得到，如图：

（2）由已知f（x）=，于是有=，显然f′（x）＞0在[1，e]上恒成立，所以函数f（x）在区间[1，e]上为增函数，
所以，
点评：本题考查了函数的导数及其应用，利用导数求最大（小）值，利用导数以及结合给定的函数的单调区间求解参数的范围，另外考查了函数的图象的画法，综合考查了数形结合思想，分类思想，函数与方程的思想，构造函数解决问题的思想．