题目内容

已知函数f（x）=kx，g（x）= $数学公式$ ．
（1）若不等式f（x）=g（x）在区间（ $数学公式$ ）内的解的个数；
（2）求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）由f（x）=g（x），得 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ 所以，方程f（x）=g（x），在区间 $\text{[math]}$ 内解的个数即为函数 $\text{[math]}$ 的图象与直线y=k交点的个数．
$\text{[math]}$ 当h′（x）=0时，x= $\text{[math]}$ ．
当x在区间 $\text{[math]}$ 内变化时，h′（x），h（x）变化如下：

$\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$
当 $\text{[math]}$ 时，y=-e²；当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ；当x=e时， $\text{[math]}$ ．
所以，（1）当 $\text{[math]}$ 或k＜-e²时，该方程无解
（2）当 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，该方程有一个解；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，该方程有两个解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$ $\text{[math]}$

∴∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

= $\text{[math]}$ ＜1
∴ $\text{[math]}$
∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（I）将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到方程解的情况．
（II）通过（I）得到的函数的单调性，通过对不等式放缩，利用数列的裂项求和的方法证出不等式．
点评：本题考查通过导函数研究函数的单调性、求函数的极值、求函数交点的个数，以及通过放缩的方法证明不等式、考查利用裂项法求数列的和．

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