题目内容

已知幂函数f（x）=x^a经过点（2， $数学公式$ ），
（1）求函数f（x）的解析式．
（2）求函数f（x）的定义域．
（3）判断函数f（x）的单调性，并加以证明．

解：（1）∵幂函数f（x）=x^a的图象经过点（2， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =2^α，
∴α= $\text{[math]}$ ．
∴f（x）=x $\text{[math]}$ ，
（2）f（x）=x $\text{[math]}$ 的定义域是[0，+∞）；
（3）此函数在定义域上是增函数，证明如下：
任取x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
由于x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0， $\text{[math]}$ ＞0，可得 $\text{[math]}$ ＜0，
即有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
故函数在定义域是增函数．
分析：（1）利用幂函数的概念，将点（2， $\text{[math]}$ ）的坐标代入幂函数的解析式，求得α的值，即可求得f（x）．
（2）利用幂函数的性质写出其定义域；
（3）此函数是一个增函数，由定义法证明要先任取x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，再两函数值作差，判断差的符号，再由定义得出结论．
点评：本题考查幂函数的概念及其解析式的应用，考查幂函数的性质，属于基础题．