题目内容

已知函数f（x）=2cos²ωx+2 $数学公式$ sinωxcosωx-1（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（ $数学公式$ ）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间及其图象的对称轴方程．

解：（1）函数f（x）=2cos²ωx+2 $\text{[math]}$ sinωxcosωx-1=cos2ωx+ $\text{[math]}$ sin2ωx=2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），
因为f（x）最小正周期为π，所以 $\text{[math]}$ =π，解得ω=1，
所以f（x）=2sin（2x+ $\text{[math]}$ ），f（ $\text{[math]}$ ）=2sin $\text{[math]}$ =1．
（2）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得 kπ- $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ- $\text{[math]}$ ，kπ+ $\text{[math]}$ ]，k∈z．
由 2x+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ 可得 x= $\text{[math]}$ kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．
所以，f（x）图象的对称轴方程为x= $\text{[math]}$ kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z．…（12分）
分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2ωx+ $\text{[math]}$ ），由此求得f（ $\text{[math]}$ ）的值．
（2）由2kπ- $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，求出函数f（x）的单调递增区间．由 2x+ $\text{[math]}$ =kπ+ $\text{[math]}$ 求得 x的值，从而得到f（x）图象的对称轴方程．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，复合三角函数的单调性，属于中档题．