Question

[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为

x=1+ 1 5 t y=a+ 2 5 t

（t为参数）．若直线l与圆C相交于P，Q两点，且PQ=

4 5

5

．
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程，并求出圆心坐标和半径；
（Ⅱ）求实数a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，根据圆的标准方程求出圆心和半径．
（Ⅱ）把直线的参数方程化为直角坐标方程，由弦长PQ的值，利用弦长公式求得弦心距d，再由点到直线的距离公式求得 d，再根据这两个值d的值相等，解方程求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ，即 ρ²=2ρcosθ，即 x²+y²=2x，
即 （x-1）²+y²=1，表示以C（1，0）为圆心，半径等于1的圆．
（Ⅱ）由

x=1+ 1 5 t y=a+ 2 5 t

（t为参数），可得 2x-y+a-2=0．
由弦长PQ=

4 5

5

，可得弦心距d=

r2-( PQ 2 )2

=

1

5

．
再由点到直线的距离公式可得 d=

|2-0+a-2|

5

，
∴

|2-0+a-2|

5

=

1

5

，解得 a=1，或 a=-1．

点评：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，
弦长公式的应用，属于基础题．