题目内容

（2012•杭州二模）设数列{an}与数列{bn}满足a1=b1=1，
bn
an
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
（n≥2且n∈N*）．
（Ⅰ）求证：
bn+1
bn+1
=
an
an+1
（n≥2）；
（Ⅱ）设(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)=λ(
1
a1
+
1
a2
…+
1
an
)（n∈N*），求实数λ的值．
分析：（Ⅰ）由
bn
an
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
（n≥2且n∈N*），向上类比一项，整理即可证得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）
bn+1
bn+1
=
an
an+1
知，（1+
1
b1
）（1+
1
b2
）…（1+
1
bn
）=2•
bn+1
an+1
，而
bn+1
an+1
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
+
1
an
，从而可求得
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=2，即λ可求．
解答：证明：（Ⅰ）n≥2时，
∵
bn
an
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
（n≥2且n∈N*），
∴
bn+1
an+1
=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
+
1
an
，
∴
bn+1
an+1
=
bn
an
+
1
an
，
∴bn+1an-（bn+1）an+1=0（n≥2且n∈N*），
所以
bn+1
bn+1
=
an
an+1
（n≥2且n∈N*）．                                     （7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
bn+1
bn+1
=
an
an+1
，b2=a2，
∴（1+
1
b1
）（1+
1
b2
）…（1+
1
bn
）=
b1+1
b1
•
b2+1
b2
…
bn+1
bn
=
1
b1
•
b1+1
b2
•
b2+1
b3
…
bn-1+1
bn
•
bn+1
bn+1
•bn+1
=
1
b1
•
b1+1
b2
•
a2
a3
•
a3
a4
…
an-1
an
•
an
an+1
•bn+1
=2•
bn+1
an+1

=2（
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an-1
+
1
an
），
故
(1+
1
b1
)(1+
1
b2
)…(1+
1
bn
)
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=2，即 λ=2．                           （14分）
点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查创新思维与抽象思维能力，考查化归思想与运算能力，属于难题．
练习册系列答案
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π
3
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π
3
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1
1
．
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x2
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-
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b2
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8
8
．
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