Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=

3

acosC
（I）求角C的大小；
（II）求函数f(x)=

3

sinx+cos(x+C)x∈[0，

π

2

]的最大值，并求取得最大值时x的大小．

Answer 1

分析：（I）利用正弦定理化简已知的等式，得到sinC=

3

cosC，即为tanC=

3

，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角
函数值即可求出C的度数．
（II）利用两角和差的正弦、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sin（

π

6

+x），再根据x的范围求得

π

6

+x的范围，
从而求得函数的最大值．

解答：解：（I）∵在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA=

3

acosC，而且

a

sinA

=

c

sinC

，
∴c•sinA=

3

a•cosC 变形为：sinCsinA=

3

sinAcosC，
又A为三角形的内角，∴sinA≠0，
∴sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，故C=

π

3

．
（II）∵f(x)=

3

sinx+cos(x+C)=

3

sinx+

1

2

cosx-

3

2

sinx=sin（

π

6

+x），x∈[0，

π

2

]，
∴

π

6

+x∈[

π

6

，

2π

3

]，故当

π

6

+x=

π

2

，即 x=

π

3

时，函数f（x）取得最大值为1．

点评：此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，两角和差的正弦、余弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．