题目内容
用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x，体积是V的正四棱柱形状的框架．
（Ⅰ）试将V表示成x的函数，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时，其体积最大？
（Ⅰ）试将V表示成x的函数，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时，其体积最大？
（Ⅰ）由长度为定值l的铁丝围成的底面边长为x，则正四棱柱的高为
，根据体积公式得：
V=x2•
=
x2-2x3，
又因为l-8x＞0且x＞0解得x的取值范围是（0，
）．
（Ⅱ）求出V′=
x-6x2=-6x（x-
），
在（0，
）上，V′＞0，函数单调递增；在（
，
）上，V′＜0，函数单调递减．
∴当x=
时，V取最大值．
此时，正四棱柱的高为
，于是当正四棱柱底面边长和高之比是1时，其体积最大．
| l-8x |
| 4 |
V=x2•
| l-8x |
| 4 |
| l |
| 4 |
又因为l-8x＞0且x＞0解得x的取值范围是（0，
| 1 |
| 8 |
（Ⅱ）求出V′=
| l |
| 2 |
| l |
| 12 |
在（0，
| l |
| 12 |
| l |
| 12 |
| l |
| 8 |
∴当x=
| l |
| 12 |
此时，正四棱柱的高为
| l |
| 12 |
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