Question

【题目】若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足 ，则称f（x）具有性质M．
（1）很明显，函数 （x∈（0，+∞）具有性质M；请证明 （x∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．
（3）已知函数 ，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（ ）= + =x+ =f（x），∴函数f（x）具有性质M．

任取x1、x2且x1＜x2，

则f（x1）﹣f（x2）=（x1+ ）﹣（x2+ ）=（x1﹣x2）+（ ﹣ ）=（x1﹣x2） ，

若x1、x2∈（0，1），

则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＞0，

∴f（x1）＞f（x2），

∴f（x）在（0，1）上是减函数．

若x1、x2∈（1，+∞），

则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．

（2）解：∵ ，∴g（x）具有性质M

由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=et，

∵t＞0，∴e﹣t＜et，

∴ ，

∴ ，∴ ，

∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣et）2=[2﹣（e﹣t+et）]（et﹣e﹣t）

由（1）知， 在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）

而 ，故2﹣（e﹣t+et）＜0，et﹣e﹣t＞0，

|AB|＜|AC|

（3）解：∵h（1）=0，m，n，k均为正数，

∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n

当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1， = 是减函数，

值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，

∴ ，∴ ，∴1﹣n2=1﹣m2

故不存在

当1＜m＜n时，x＞1， = 是增函数，

∴h（m）=km，h（n）=kn，∴ ，

∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1， ，不存在

综合得，若不存在正数m，n，k满足条件

【解析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可，（2）根据函数的性质利用作差法进行判断即可，（3）根据 函数定义域和值域的关系建立方程，进行求解即可．