Question

已知三棱锥S-ABC中，侧棱SA、SB、SC两两垂直，若将此三棱锥沿侧棱展成平面图形恰好可以形成一个边长为a的正方形．

(Ⅰ)求证：顶点S在底面ABC的射影O是底面△ABC的垂心；

(Ⅱ)求SC与底面ABC所成的角的大小．

Answer 1

解：(Ⅰ)作SO⊥平面ABC，连AO、BO，

因为侧棱SA、SB、SC两两垂直，易证SA⊥平面SBC、SB⊥平面SAC、SC⊥平面SAB．

所以SA⊥BC，由三垂线定理的逆定理，AO⊥BC，

同理可证BO⊥AC．所以O为高线的交点，即为△ABC垂心．

(Ⅱ)连CO，则∠SCO为SC与底面ABC所成的角．

由于三棱锥的展开图成边长为a正方形，则B、C分别为SS′和SS″的中点，即SB=SC=，所以SA=a，AB=AC=a，BC=a．

延长CO交AB于D，连接SD．因为CO⊥AB，根据三垂线定理，SD⊥AB

在△SAB中，∠ASB=90°，SB=，SA=a，

AB=a，所以SD=a

所以tan∠SCO=tan∠SCD= 

SC与底面ABC所成的角的大小为arctan