Question

已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，其中t＞0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意的t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

Answer 1

（1）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f′（x）=0，得x=-t或x=．
∵t＞0，∴，
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-∞，-t）
f'（x）	+	-	+
f（x）	↗	↘	↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-t），，f（x）的单调递减区间是．
（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在内单调递减，在内单调递增，以下分两种情况讨论：
①当，即t≥2时，f（x）在（0，1）内单调递减，f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3≤-6×4+4×2+3＜0．
所以对任意t∈[2，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
②当，即0＜t＜2时，f（x）在内单调递减，在内单调递增，
若t∈（0，1]，，f（1）=-6t²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0，所以f（x）在内存在零点．
若t∈（1，2），，f（0）=t-1＞0，所以f（x）在内存在零点．
所以，对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．
综上，对任意t∈（0，+∞）在区间（0，1）内均存在零点．
分析：（1）求出f′（x），解方程f′（x）=0，以表格表示当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况，由表格即可求出单调区间；
（2）借助（1）问的结论，按照函数零点的存在条件，分情况进行讨论，可证明．
点评：本题考查函数的零点存在条件以及利用导数研究函数的单调性问题，本题中渗透了分类讨论思想．