Question

【题目】已知函数有两个零点，有一个极值点．

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）先求导，得，对参数进行分类讨论，确定只有当时，有一个极值点，在上单调递减，上单调递增，故只需，解出即可

（2）由（1）可判断，，可令，则，，由化简可得，，即,最终需要通过构造函数，求证在上即可

解：（1）函数定义域为，则

①若，则仅一个零点，不符题意

②若，则，

在上单调递增，不可能有两个零点，也不符题意

③若，令，即

得只能取一个零点，当，，，

所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，

要满足，即； 且当趋于0和正无穷时，趋向正无穷

综上a的取值范围为．

（2）由题意及（1）可知，．

法一：令，则，，

由，即：

而

即：由，只需证：

令，则

令，则

故在上递增，

故在上递增，

∴

法二：构造函数

（易知等号取不到）

故，在上递减，

即：，则

而由，，在上单调递增

故，得

另得

∴