Question

已知抛物线C₁的方程为y=ax²（a＞0），圆C₂的方程为x²+（y+1）²=5，直线l₁：y=2x+m（m＜0）是C₁、C₂的公切线．F是C₁的焦点．
（1）求m与a的值；
（2）设A是C₁上的一动点，以A为切点的C₁的切线l交y轴于点B，设，证明：点M在一定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可．
（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再求出，，利用即可求出点M所在的定直线．
解答：解：（1）由已知，圆C₂：x²+（y+1）²=5的圆心为C₂（0，-1），半径．（1分）
由题设圆心到直线l₁：y=2x+m的距离．（3分）
即，
解得m=-6（m=4舍去）．（4分）
设l₁与抛物线的相切点为A（x，y），又y′=2ax，（5分）
得，．（6分）
代入直线方程得：，∴
所以m=-6，．（7分）
（2）由（1）知抛物线C₁方程为，焦点．（8分）
设，由（1）知以A为切点的切线l的方程为．（10分）
令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（11分）
所以，，（12分）
∴（13分）
因为F是定点，所以点M在定直线上．（14分）
点评：本题是对圆与椭圆知识的综合考查．当直线与圆相切时，可以利用圆心到直线的距离等于半径求解．，也可以把直线与圆的方程联立让对应方程的判别式为0求解．本题用的是第一种．