Question

判断下列各命题正确与否：
（1）若

a

≠0，

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

；
（2）若

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

≠

c

当且仅当

a

=0时成立；
（3）（

a

•

b

）

c

=

a

（

b

•

c

）对任意向量

a

、

b

、

c

都成立；
（4）对任一向量

a

，有

a

²=|

a

|²．

Answer 1

（1）

a

•

b

=

a

•

c

，∴|

a

||

b

|cosα=|

a

||

c

|cosβ（其中α、β分别为

a

与

b

，

a

与

c

的夹角）．∵|

a

|≠0，∴|

b

|cosα=|

c

|cosβ．
∵cosα与cosβ不一定相等，∴|

b

|与|

c

|不一定相等．∴

b

与

c

也不一定相等．∴（1）不正确．
（2）若

a

•

b

=

a

•

c

，则|

a

||

b

|cosα=|

a

||

c

|cosβ（α、β为

a

与

b

，

a

与

c

的夹角）．
∴|

a

|（|

b

|cosα-|

c

|cosβ）=0．
∴|

a

|=0或|

b

|cosα=|

c

|cosβ．
当

b

≠

c

时，|

b

|cosα与|

c

|cosβ可能相等．
∴（2）不正确．
（3）（

a

•

b

）

c

=（|

a

||

b

|cosα）

c

，

a

（

b

•

c

）=

a

|

b

||

c

|cosθ（其中α、θ分别为

a

与

b

，

b

与

c

的夹角）．
（

a

•

b

）

c

是与

c

共线的向量，

a

（

b

•

c

）是与

a

共线的向量．
∴（3）不正确．（4）正确．