Question

已知正方形ABCD的边长为4,E、F分别是AB、AD的中点,GC⊥平面ABCD,且GC=2,求点B到平面EFG的距离.

Answer 1

解法一：由题设可知CG、CB、CD两两垂直,由此可建立空间直角坐标系,用向量法求解,即求出过B垂直于平面EFG的向量,它的模长即为点B到平面EFG的距离.

如图所示,以C为原点,CB、CD、CG所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系C—xyz.

由题意知C(0,0,0),A(4,4,0),B(4,0,0),D(0,4,0),E(4,2,0),F(2,4,0),G(0,0,2).

=(0,2,0),=(-2,4,0),

=(-4,0,2),=(4,2,-2),=(-2,2,0).

设向量⊥平面GEF,垂足为M,则M、G、E、F四点共面,

故存在实数x,y,z,使

即=x(0,2,0)+y(-2,4,0)+z(-4,0,2)

=(-2y-4z,2x+4y,2z).

由BM⊥平面GEF,得

于是

即

即

解得

∴

∴

即点B到平面GEF的距离为.

解法二：利用BE在平面EFG的法向量n上的射影求点B到平面EFG的距离,

即d=

建立如解法一中图所示的坐标系,同解法一得

=(0,2,0),=(4,2,-2),=(-2,2,0).

设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),则有

令x=1,则y=1,z=3,∴n=(1,1,3).

点B到平面GEF的距离为

绿色通道：

用向量法求点到平面的距离,垂线段常常不必作出来,只需设出垂线段对应的向量或平面的法向量,利用向量垂直的条件转化为解方程组求其法向量.