Question

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知矩阵，其中，若点在矩阵的变换下得到点，

 

（Ⅰ）求实数a的值；    （Ⅱ）求矩阵的特征值及其对应的特征向量.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线的极坐标方程为，圆的参数方程为

 

（其中为参数）.

（Ⅰ）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程；

（Ⅱ）求圆上的点到直线的距离的最小值.

 

Answer 1

【答案】

（1）选修4-2：矩阵与变换

解：（1）解：（Ⅰ）由=， ∴. -------------------3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，则矩阵的特征多项式为

 --------------------------5分

令，得矩阵的特征值为与4. （5分）

当时，

∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为;  ---------------------------------6分

当时，

∴矩阵的属于特征值的一个特征向量为.  ------------------------------7分

 

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

（Ⅰ）以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系. ----------------1分

----------------2分

所以，该直线的直角坐标方程为：----------------3分

（Ⅱ）圆的普通方程为：----------------4分

圆心到直线的距离---------------5分

所以，圆上的点到直线的距离的最小值为----------------7分

【解析】略