Question

定义区间[x₁，x₂]（x₁＜x₂）的长度为x2-x1，已知函数f（x）=

.

log 1 2 x

.

的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为（　　）

Answer 1

分析：先对函数化简可得，y= |log

1

2

x|=

log 1 2 x  ，log 1 2 x≥0 log2x ，log 1 2 x＜0

，做出函数的简图，结合图象可知要使得函数的值域为[0，2]则函数定义域的最大区间为[

1

4

，4]，从而可求最大值与最小值的差．

解答：解：y= |log

1

2

x|=

log 1 2 x  ，log 1 2 x≥0 log2x ，log 1 2 x＜0

根据题意，可得其定义域为[a，b]时函数的值域[0，2]，令|log

1

2

x|=2可得x=

1

4

或x=4
由图象可知，定义域的最大区间[

1

4

，4]，
最小区间是[

1

4

，1]，
则区间[a，b]的长度的最大值与最小值的差为
（4-

1

4

）-（1-

1

4

）=3
故先C．

点评：本题主要考查了对数函数的定义域及函数的值域的求解，运用对数函数图象增减性解决数学问题的能力，体现了数形结合的思想的应用．