Question

14、给定正整数n（n≥2）按右图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数l，2，3，…，n，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数（比上一行少一个数），依次类推，最后一行（第n行）只有一个数，例如n=6时数表如图所，则当n=2009时最后一行的数是

1005×2²⁰⁰⁸

．

Answer 1

分析：分析已知图形中的各行数据分析第一行的第一数的变化情况，可以得到a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=8=1+2×2+3，a₄=20=1+2×2+2×3+4，…则a_n=C_n-1⁰×1+C_n-1¹×2+…+C_n-1^n-1×n，故不难求出当n=2009时最后一行的数a₂₀₀₉的值．

解答：解：邻第m行的第一个数为，a_m
∵可以得到a₁=1，a₂=3=1+2，a₃=8=1+2×2+3，a₄=20=1+2×2+2×3+4，…
则a_n=C_n-1⁰×1+C_n-1¹×2+…+C_n-1^n-1×n，
当n=2009时
最后一行的数
a₂₀₀₉=C₂₀₀₈⁰×1+C₂₀₀₈¹×2+…+C₂₀₀₈¹×n=1005×2²⁰⁰⁸
故答案为：1005×2²⁰⁰⁸

点评：本题考查点是归纳与类比及二项式定理的相关运算，根据已知的数据，我们可以得到每一行第一个数的变化规律，根据规律我们可以计算出每一行的第一个数字，将n=2009代入公式，即可求解．