题目内容
如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，OA=AB=
PD．
（Ⅰ）证明PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）求棱锥Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值．
解：（I）由条件知PDAQ为直角梯形，
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，
可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得
，
则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，
所以棱锥Q一ABCD的体积
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P﹣DCQ的高
而PQ=
．△DCQ的面积为
．
所以棱锥P﹣DCQ的体积
Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：l．
因为QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交线为AD
又四边形ABCD为正方形，DC⊥AD，
所以DC⊥平面PDAQ，
可得PQ⊥DC
在直角梯形PDAQ中可得
，则PQ⊥DQ，又DQ∩DC=D，
所以PQ⊥平面DCQ；
（Ⅱ）设AB=a，由题设知AQ为棱锥Q﹣ABCD的高，
所以棱锥Q一ABCD的体积
由（Ⅰ）知PQ为棱锥P﹣DCQ的高
而PQ=
．△DCQ的面积为．所以棱锥P﹣DCQ的体积
Q﹣ABCD的体积与棱锥P﹣DCQ的体积的比值为1：l．
练习册系列答案
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